正の整数の加法分解は、2つ以上の正の整数の合計としてそれを表現することから成ります。したがって、5という数値は5 = 1 + 4、5 = 2 + 3または5 = 1 + 2 + 2として表すことができます。数値5を書くこれらの方法はそれぞれ、加法分解と呼ばれます。

注意すると、式5 = 2 + 3と5 = 3 + 2が同じ構成を表すことがわかります。どちらも同じ番号です。ただし、便宜上、各加数は通常、最低から最高までの基準に従って記述されています。

加法分解

別の例として、27を使用できます。これは次のように表現できます。

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

加法分解は、ナンバリングシステムに関する知識を強化するのに非常に役立つツールです。

正準加法分解

2桁を超える数値がある場合、それらを分解する特定の方法は、10、100、1000、10000などの倍数で構成されます。このように任意の数を書く方法は、正準加法分解と呼ばれます。たとえば、数値1456は次のように分解できます。

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

20 846 295という数がある場合、その正準加法分解は次のようになります。

20 846 295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5。

この分解のおかげで、特定の数字の値は、それが占める位置によって与えられることがわかります。例として、24と42を考えてみましょう。

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

ここでは、24で2の値が20ユニット、4の値が4ユニットであることを確認できます。一方、42では、4の値は40ユニット、2の値は2ユニットです。したがって、両方の数字は同じ数字を使用しますが、それらが占める位置により、それらの値は完全に異なります。

用途

加法分解に適用できるアプリケーションの1つは、特定のタイプの証明であり、正の整数を他の和として見ると非常に役立ちます。

定理の例

例として、それぞれの証明を伴う次の定理を考えてみましょう。

-Zを4桁の整数とすると、単位に対応する数値が0または5の場合、Zは5で割り切れます。

デモンストレーション

分割可能性とは何かを思い出してみましょう。「a」と「b」の整数がある場合、b = a * cのような整数「c」が存在する場合、「a」は「b」を除算すると言います。

可分性の特性の1つは、「a」と「b」が「c」で割り切れる場合、減算「ab」も割り切れることを示しています。

Zを4桁の整数とします。したがって、ZはZ = ABCDと書くことができます。

正規の加法分解を使用すると、次のようになります。

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

A * 1000 + B * 100 + C * 10が5で割り切れるのは明らかです。このため、Z-（A * 1000 + B * 100 + C * 10）が5で割り切れる場合、Zは5で割り切れるということになります。

ただし、Z-（A * 1000 + B * 100 + C * 10）= DおよびDは1桁の数字であるため、5で割り切れる唯一の方法は、0または5であることです。

したがって、D = 0またはD = 5の場合、Zは5で割り切れます。

Zの桁数がn桁の場合、証明はまったく同じであり、Z = A ₁ A ₂ …A _nと書くことだけが変わることに注意してください。その目的は、A _nが0または5であることを証明することです。

パーティション

正の整数の分割は、数値を正の整数の合計として書くことができる1つの方法であると言います。

加法分解とパーティションの違いは、最初のものは少なくとも2つの加数に分解できることを求めていますが、パーティションにはこの制限がないことです。

したがって、次のようになります。

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

上記は5のパーティションです。

つまり、すべての加法分解がパーティションであるということですが、必ずしもすべてのパーティションが加法分解であるとは限りません。

数論では、算術の基本定理は、すべての整数が素数の積として一意に記述できることを保証します。

パーティションを研究するときの目標は、正の整数を他の整数の合計としていくつ書き込めるかを判断することです。したがって、パーティション関数を以下のように定義します。

定義

パーティション関数p（n）は、正の整数nが正の整数の合計として記述できる方法の数として定義されます。

5の例に戻ると、次のようになります。

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

したがって、p（5）= 7。

グラフィックス

数nの分割と加法分解の両方を幾何学的に表すことができます。nの加法分解があるとします。この分解では、和のメンバーが最小から最大に順序付けられるように、加数を配置できます。だから、大丈夫：

N = ₁ + ₂ + ₃ + … + _rを有します

A ₁ ≤A ₂ ≤A ₃ ≤…≤ _R。

この分解は次の方法でグラフ化できます。最初の行で₁ポイントをマークし、次の行で₂ポイントをマークし、_rに達するまで続けます。

たとえば、数値23とその次の分解を考えてみます。

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

この分解を注文すると、次のようになります。

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

対応するグラフは次のようになります。