対数関数は、基体A上の対数Yとそれぞれ正の実数xを関連付ける数学的関係です。この関係は、関数であるという要件を満たしています。ドメインに属する各要素xは、一意の画像を持っています。
したがって:
数値xに基づく対数は、xを求めるために底aを累乗しなければならない数値yであるためです。
-底の対数は常に1です。したがって、f(x)= log a x のグラフは常に点(1,0)でx軸と交差します。
-対数関数は超越関数であり、多項式またはこれらの商として表現できません。対数に加えて、このグループには、とりわけ、三角関数と指数関数が含まれます。
例
対数関数はさまざまな底で確立できますが、最もよく使用されるのは10とeです。ここで、eは2.71828に等しいオイラー数です。
底が10の場合、対数は10進数の対数、通常の対数、ブリッグス、または単純な対数と呼ばれます。
そして、数値eが使用される場合、対数を発見したスコットランドの数学者であるジョンネイピアにちなんで、それは自然対数と呼ばれます。
それぞれに使用される表記は次のとおりです。
-10進数の対数:log 10 x = log x
-ネパールの対数:ln x
他の基数を使用する場合は、使用する基数によって各数値の対数が異なるため、添え字で表記する必要があります。たとえば、底が2の対数の場合、次のように記述します。
y =ログ2 x
この点を説明するために、3つの異なる底の10の対数を見てみましょう。
ログ10 = 1
ln 10 = 2.30259
ログ2 10 = 3.32193
一般的な計算機は、10進数の対数(log関数)と自然対数(ln関数)のみをもたらします。インターネット上には、他の拠点を持つ計算機があります。いずれの場合でも、読者はその助けを借りて、以前の値が満たされていることを確認できます。
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
わずかな小数の違いは、対数の計算に使用される小数点以下の桁数によるものです。
対数の利点
対数を使用する利点の1つは、直接数ではなく対数を使用して、大きな数を処理するのが容易になることです。
これは、グラフでわかるように、数値が大きくなるにつれて対数関数の成長が遅くなるためです。
したがって、非常に大きな数値であっても、その対数ははるかに小さく、小さな数値の操作は常に簡単です。
さらに、対数には次のプロパティがあります。
- 製品:ログ(ab)=ログa +ログb
- 商:log(a / b)= log a-log b
- 電源:ログインB = B.LOG Aを
このようにして、積と商はより小さな数の足し算と引き算になり、一方、増強は力が高くても単純な積になります。
そのため、対数を使用すると、音の強度、溶液のpH、星の明るさ、電気抵抗、地震の強度など、非常に大きな値の範囲で変化する数値をリヒタースケールで表すことができます。
図2.地震のマグニチュードを数値化するために、リヒタースケールで対数が使用されます。画像は2010年の地震中にチリのコンセプシオンで崩壊した建物を示しています。出典:ウィキメディア・コモンズ。
対数のプロパティの処理の例を見てみましょう:
例
次の式でxの値を見つけます。
応答
未知数は対数の引数にあるため、ここには対数方程式があります。これは、等式の両側に1つの対数を残して解決されます。
まず、「x」を含むすべての用語を等式の左側に配置し、数値のみを含む用語を右側に配置します。
ログ(5x + 1)-ログ(2x-1)= 1
左側には、2つの対数の減算があります。これは、商の対数として書くことができます。
ログ= 1
ただし、右側は1です。これは、前に見たように、log 10として表すことができます。そう:
ログ=ログ10
等式が真になるためには、対数の引数が等しい必要があります。
(5x + 1)/(2x-1)= 10
5x + 1 = 10(2x-1)
5x + 1 = 20 x-10
-15 x = -11
x = 11/15
アプリケーションの演習:リヒタースケール
1957年にマグニチュードマグニチュード7.7のリヒター規模の地震がメキシコで発生しました。1960年に、さらに大きなマグニチュード9.5のチリで地震が発生しました。
チリの地震がメキシコの地震よりも激しかった回数を計算します。リヒタースケールのマグニチュードM Rは次の式で与えられます。
M R = log(10 4 I)
解決
地震のリヒタースケールのマグニチュードは対数関数です。リヒターのマグニチュードがあるので、各地震の強度を計算します。ステップバイステップでやってみましょう:
- メキシコ:7.7 =ログ(10 4 I)
対数関数の逆関数は指数関数であるため、対数の引数にあるIを解くことを目的として、これを等式の両側に適用します。
これらは10進数の対数なので、底は10です。
10 7.7 = 10 4 I
メキシコ地震の強さは:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- チリ:9.5 =ログ(10 4 I)
同じ手順で、チリのI Ch地震の強度がわかります。
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
これで両方の強度を比較できます:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
I Ch = 63.1 私はM
チリの地震はメキシコの地震の約63倍の強さでした。マグニチュードは対数であるため、強度よりもゆっくりと成長するため、マグニチュードの1の違いは、地震波の振幅が10倍大きいことを意味します。
両方の地震のマグニチュード間の差は1.8であるため、実際に発生したように、10ではなく100に近い強度の差が予想されます。
実際、差が正確に2だった場合、チリの地震はメキシコの地震よりも100倍激しかったでしょう。
参考文献
- ケアナ、M。2019。大学入学前数学マニュアル。リトラル国立大学。
- フィゲラ、J。2000。数学1位。多様化した年。CO-BOエディション。
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