公理方法 Axiomatics呼ばもまたは控除し、その特定のシステムの仮定又は条件に基づいているの関係によって互いに接続公理と呼ばれる書類又は命題が処方された手段によって科学で使用される正式な手順です。
この一般的な定義は、この方法論が歴史を通じて持ってきた進化の範囲内に収められる必要があります。そもそも、ユークリッドから古代ギリシャで生まれ、後にアリストテレスによって開発された古代メソッドまたはコンテンツメソッドがあります。
第2に、19世紀には、ユークリッドの公理とは異なる公理を持つ幾何学の外観が出現しました。そして最後に、公式または現代の公理的方法、その最大の指数はデビッド・ヒルベルトでした。
時間の経過に伴う開発を超えて、この手順は演繹法の基礎であり、それが発生したジオメトリとロジックで使用されています。また、物理学、化学、生物学でも使用されています。
そしてそれは、法学、社会学、政治経済学にも適用されています。ただし、現在、その最も重要な適用範囲は、数学と記号論理、および他の分野の中でも特に熱力学、力学などの物理学の一部です。
特徴
この方法の基本的な特性は公理の定式化ですが、これらは常に同じ方法で考慮されていません。
任意の方法で定義および構築できるものがあります。そして、他のものは、その保証された真実が直感的に考慮されるモデルによると。
この違いとその結果の構成要素を具体的に理解するには、この方法の進化を経験する必要があります。
古代または内容の公理的方法
それは紀元前5世紀に向けて古代ギリシャで確立されたものです。その適用範囲は幾何学です。この段階の基本的な作業はユークリッドの要素ですが、彼の前にピタゴラスが公理的方法をすでに生み出していたと考えられています。
したがって、ギリシャ人は論理的証明を必要とせずに、つまり証明を必要とせずに、特定の事実を公理として扱います。
ユークリッドは、幾何学について5つの公理を提示しています。
1-2つの点を指定すると、それらを含むか結合する線があります。
2-任意のセグメントを両側で無制限に連続して延長できます。
3-任意の点と任意の半径を中心とする円を描くことができます。
4-直角はすべて同じです。
5-直線とその中にない任意の点を取ると、それに平行でその点を含む直線があります。この公理は、後で緯線の公理として知られており、次のように発音されています。単一の緯線は、線の外側の点から描画できます。
しかし、ユークリッドとそれ以降の数学者はどちらも、5番目の公理は他の4ほど直感的に明確ではないことに同意しています。
これにより、すでにXIX世紀には、5つを維持した人はユークリッド幾何学に賛成し、5つ目を否定した人は非ユークリッド幾何学を作成した人でした。
非ユークリッド公理法
ユークリッドの公理系以外の公理系に由来する幾何学を矛盾なく構築する可能性を見出しているのは、まさにニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキー、ヤノス・ボリアイ、ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウスです。これは、公理の絶対的な真理またはアプリオリとそれらに由来する理論の信念を破壊します。
その結果、公理は与えられた理論の出発点として考えられ始めます。また、彼の選択とある意味でのその妥当性の問題の両方が、公理理論以外の事実に関連し始めています。
このようにして、幾何学、代数、および算術の理論は、公理的方法によって構築されたように見えます。
この段階は、1891年のジュゼッペペアーノのような算術の公理システムの作成で最高潮に達します。1899年のデビッドヒューバートのジオメトリ。1910年のイギリスにおけるアルフレッドノースホワイトヘッドとバートランドラッセルの声明と述語計算。Ernst Friedrich Ferdinand Zermeloの1908年の集合の公理理論。
現代または正式な公理的方法
形式的な公理的方法の概念を開始し、その集大成であるデービッド・ヒルベルトにつながるのは、デービッド・ヒューバートです。
科学的言語を公式化するのはまさにヒルベルトであり、その記述をそれ自体に意味のない式または記号のシーケンスと見なします。彼らは特定の解釈でのみ意味を獲得します。
「幾何学の基礎」では、この方法論の最初の例を説明しています。ここからは、幾何学は純粋な論理的帰結の科学になり、ユークリッドシステムよりも明確な仮説または公理のシステムから抽出されます。
これは、古代のシステムでは公理理論が公理の証拠に基づいているためです。形式理論の基礎にある間、それはその公理の矛盾がないことの証明によって与えられます。
手順
科学理論内で公理構造化を実行する手順は、次のことを認識しています。
a-特定の数の公理の選択、つまり、証明する必要なく受け入れられる特定の理論のいくつかの命題。
b-これらの命題の一部である概念は、与えられた理論の枠組みの中で決定されません。
c-所定の理論の定義と推論のルールが設定され、理論内の新しい概念の導入を可能にし、いくつかの命題を他の命題から論理的に推論します。
d-理論の他の命題、すなわち定理は、cに基づいてaから演繹されます。
例
この方法は、脚の定理と高さの定理という2つの最もよく知られたユークリッドの定理の証明によって検証できます。
どちらもこのギリシャのジオメトリの観測から生じ、斜辺に対する高さが直角三角形内にプロットされると、元の三角形がさらに2つ表示されます。これらの三角形は互いに類似しており、同時に原点の三角形に類似しています。これは、それぞれの同族側が比例していることを前提としています。
このように三角形の合同角度は、AAAの類似性の基準に従って、関連する3つの三角形間に存在する類似性を検証することがわかります。この基準は、2つの三角形の角度がすべて同じである場合、それらは類似していることを示しています。
三角形が類似していることが示されると、最初の定理で指定された比率を確立できます。直角三角形の場合と同じステートメントで、各脚の測定値は、斜辺と脚への脚の投影との間の幾何学的比例平均です。
第二の定理は高さの定理です。それは、斜辺に従って描かれた高さの直角三角形が、斜辺上の前記幾何平均によって決定されるセグメント間の幾何比例平均であることを指定します。
もちろん、両方の定理は教育だけでなく、工学、物理学、化学、天文学にも世界中で数多くの用途があります。
参考文献
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