合成数：特性、例、演習 - 数学

化合物番号は、二つ以上の分周器を持っているそれらの整数です。よく見てみると、すべての数値は少なくとも1と2で正確に割り切れる数です。これらの2つの除数のみを持つものは素数と呼ばれ、それ以上の数は合成されます。

1と2の間でのみ分割できる数値2を見てみましょう。数値3にも2の除数、1と3があります。したがって、どちらも素数です。次に、数値12を見てみましょう。これは、2、3、4、6、および12で正確に除算できます。5の除数を持つことで、12は合成数になります。

図1.青色の素数は、単一の行のドットでのみ表すことができ、赤色の合成数では表すことができません。出典：ウィキメディア・コモンズ。

そして、1を他のすべてを分割する1でどうしますか？まあ、それは素数ではありません。2つの除数がなく、それが複合的ではないため、1がこれら2つのカテゴリのいずれにも分類されないためです。しかし、そうする数はもっとたくさんあります。

合成数は素数の積として表すことができ、この積は、因子の順序を除いて、各数に対して一意です。これは、ギリシャの数学者ユークリッド（紀元前325〜365年）によって証明された算術の基本定理によって保証されます。

いろいろな表現ができる12番に戻りましょう。いくつか試してみましょう：

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ²= 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

太字で強調表示されている形状は素数の積であり、変化するのは因子の順序のみです。これは積を変更しないことがわかっています。他の形式は、12を表すのに有効ですが、素数だけで構成されているわけではありません。

合成数の例

合成数を素因数に分解する場合は、除算が正確になるように、つまり余りが0になるように、素数で除算する必要があります。

この手順は、素因数分解または正準分解と呼ばれます。素因数は正の指数に上げることができます。

数570を分解します。これは偶数であるため、素数である2で割り切れることに注意してください。

バーを使用して、左側の数字と右側の仕切りを区切ります。それぞれの商は、得られた数の下に配置されます。左の列の最後の図が1になると、分解は完了です。

570│2
285│

2で割ると、商は285で、5で割り切れます。もう1つの素数で、5で終わります。

570│2
285│5
57│

57は3で割り切れる数でもあります。これは、その数字の合計5 + 7 = 12が3の倍数であるためです。

570│2
285│5
57│3
19│

最後に、19が得られます。これは素数で、約数は19と1です。

570│2
285│5
57│3
19│19
1│

1を取得すると、次のように570を表すことができます。

570 = 2 x 5 x 3 x 19

そして、実際には4つの素数の積であることがわかります。

この例では2で除算を開始しますが、たとえば5で除算を開始すると、同じ順序（別の順序）が得られます。

図2.合成数42は、ツリー状のダイアグラムを使用して分解することもできます。出典：ウィキメディア・コモンズ。

分割可能性の基準

合成数を素因数に分解するには、正確に除算する必要があります。素数間の可分性の基準は、試行または証明する必要なしに、ある数が別の数で正確に割り切れる時期を知ることができるルールです。

- 2による整除

0または偶数で終わるすべての偶数は、2で割り切れる。

- 3による整除

数値の数字の合計が3の倍数である場合、数値も3で割り切れるので、

- 5による整除

0または5で終わる数値は5で割り切れます。

-7による分割可能性

最後の桁を分離するときに2を掛けて残りの数を引くと、結果の値が7の倍数になる場合、その数は7で割り切れます。

このルールは前のルールより少し複雑に見えますが、実際にはそれほど多くないので、例を見てみましょう。98は7で割り切れますか？

指示に従いましょう：最後の図である8を分離し、2を乗算して16を与えます。8を分離するときに残る数は9です。16-9 = 7を減算します。7はそれ自体の倍数なので、98は割り切れます7。

-11による分割可能性

偶数位置の数値の合計（2、4、6…）を奇数位置の数値の合計（1、3、5、7…）から引いて、0または11の倍数が得られる場合、数値は11で割り切れる

11の最初の倍数は簡単に識別できます。それらは11、22、33、44…99です。ただし、111はそうではなく、110がそうです。

例として、143が11の倍数かどうかを見てみましょう。

この数字は3桁で、唯一の偶数桁は4（2番目）、奇数2桁は1と3（1番目と3番目）、合計は4です。

両方の合計が減算されます。4-4 = 0であり、0が取得されるため、143は11の倍数であることがわかります。

-13による分割可能性

1の桁のない数は、その桁の9倍から減算する必要があります。カウントが0または13の倍数を返す場合、数値は13の倍数です。

例として、156が13の倍数であることを確認します。1の桁は6で、それがなくても残る数は15です。6x 9 = 54を乗算し、54-15 = 39を減算します。

ただし、39は3 x 13なので、56は13の倍数です。

互いに素数

2つ以上の素数または合成数は素数または共素数です。つまり、共通の除数は1のみです。

コプライムに関しては、2つの重要な特性を覚えておく必要があります。

-2つ、3つ以上の連続した数字は常に互いに素です。

-2、3、またはそれ以上の連続した奇数についても同じことが言えます。

たとえば、15、16、17は互いに素数であり、15、17、19も同様です。

複合数が持つ除数の数を知る方法

素数には、同じ数と1の2つの約数があります。また、合成数にはいくつの約数がありますか？これらはいとこや化合物です。

Nを、次のようにその正準分解で表される合成数とします。

N = a ⁿ。b ^m。c ^p …r ^k

ここで、a、b、c…rは素因数、n、m、p…kはそれぞれの指数です。さて、Nが持つ約数Cの数は次のように与えられます。

C =（n +1）（m + 1）（p +1）…（k + 1）

C =素数+複合約数+ 1の場合

たとえば、570は次のように表現されます。

570 = 2 x 5 x 3 x 19

すべての素因数が1に引き上げられるため、570には次のものが含まれます。

C =（1 + 1）（1 + 1）（1+ 1）（1 +1）= 16除数

これらの10の除数のうち、1、2、3、5、19、および570です。さらに10個の除数がありません。これらは合成数です。6、10、15、30、38、57、95、114、190、285です。それらは、素因数への分解を観察し、これらの因数の組み合わせを掛け合わせることによっても見つかります。

解決された演習

-演習1

次の数値を素因数に分解します。

a）98

b）143

c）540

d）3705

への解決策

98│2
49│7
7│7
1│

98 = 2 x 7 x 7

ソリューションb

143│11
13│13
1│

143 = 11 x 13

ソリューションc

540│5
108│2
54│2
27│3
9│3
3│3
1│

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

ソリューションd

3705│5
741│3
247│13
19│19
1│

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

-演習2

次の数値が互いに素であるかどうかを調べます。

6、14、9

解決

-6の約数は1、2、3、6です。

・14は1、2、7、14で割り切れる

-最終的に9は約数として1、3、9を持ちます

彼らに共通する唯一の除数は1なので、それらは互いに素です。

参考文献

Baldor、A。1986。算術。エディションとディストリビューションコーデックス。
ビジュの。素数と合成数。復旧元：byjus.com。
素数と合成数。回収元：profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
Smartick。分割可能性の基準。回復元：smartick.es。
ウィキペディア。合成数。から回復：en.wikipedia.org。

合成数：特性、例、演習 - 数学 - 2025