- 四辺形分類
- 平行四辺形の種類
- トラピーズ
- 台形の種類
- 平行四辺形
- 平行四辺形の面積
- 平行四辺形の対角線
- 平行四辺形の法則
- 再ctángulo
- 長方形の対角線
- 平方
- ダイヤモンド
- 例
- 例1
- 例2
- 例3
- 演習は解決しました
- -演習1
- 解決
- -演習2
- 解決
- 参考文献
四辺形は、四辺と4つの頂点を有する多角形です。その反対側は、共通の頂点を持たない側であり、連続する側は、共通の頂点を持つ側です。
四辺形では、隣接する角度は1つの側面を共有しますが、反対の角度は共通の側面を持ちません。四辺形のもう1つの重要な特性は、4つの内角の合計が平面角の2倍、つまり360ºまたは2πラジアンであることです。
図1.さまざまな四辺形。出典：F. Zapata
対角線は、頂点とその反対側を結ぶセグメントであり、特定の四辺形では、各頂点から単一の対角線を描くことができます。四辺形の対角線の総数は2です。
四辺形は古代から人類に知られている数字です。考古学的な記録と今日残っている建造物はこれを証明しています。
同様に、今日、四辺形は、すべての人の日常生活の中で重要な存在感を持ち続けています。読者は、この瞬間にテキストを読んでいる画面、窓、ドア、自動車部品、その他無数の場所でこのフォームを見つけることができます。
四辺形分類
反対側の平行度に従って、四辺形は次のように分類されます。
- 台形、平行性がなく、四辺形が凸面の場合。
- 台形、対をなす1組の対の間に平行がある場合。
- 平行四辺形、その反対側が2つずつ平行である場合。
図2.四辺形の分類とサブ分類。出典：ウィキメディア・コモンズ。
平行四辺形の種類
次に、平行四辺形は、次のように角度と側面に従って分類できます。
- 長方形は、4つの等しい内角を持つ平行四辺形です。長方形の内角は直角（90°）を形成します。
- 正方形、四角形が等しい長方形です。
- 菱形は、4つの辺が等しいが、隣接する角度が異なる平行四辺形です。
- 隣接する角度が異なる菱形の平行四辺形。
トラピーズ
台形は、2つの平行な辺を持つ凸状の四辺形です。
図3.台形の底面、側面、高さ、中央値。出典：ウィキメディア・コモンズ。
-台形では、平行な辺をベースと呼び、平行でない辺をラテラルと呼びます。
-台形の高さは、2つのベース間の距離、つまり、ベースに端があり、ベースに垂直なセグメントの長さです。このセグメントは、台形の高さとも呼ばれます。
-中央値は、ラテラルの中点を結ぶセグメントです。中央値が台形の底に平行であり、その長さが底の半和に等しいことが示されます。
-台形の面積は、高さに底の半和を掛けたものです：
台形の種類
-長方形の台形：辺が底面に垂直なもの。こちら側も台形の高さです。
-二等辺台形：辺の長さが等しいもの。二等辺台形では、底辺に隣接する角度は等しくなります。
-Scalene台形：辺の長さが異なるもの。その反対の角度は、一方が鋭角で他方が鈍角である可能性がありますが、両方が鈍角または両方が鋭角である場合もあります。
図4.台形のタイプ。出典：F. Zapata
平行四辺形
平行四辺形は、対辺が2つずつ平行な四辺形です。平行四辺形では、反対の角度は等しく、隣接する角度は補足的であり、言い換えると、隣接する角度の合計は180度になります。
平行四辺形に直角がある場合、他のすべての角度も直角になり、結果の図形は長方形と呼ばれます。ただし、長方形の隣接する辺の長さが同じである場合、すべての辺が等しくなり、結果の図形は正方形になります。
図5.平行四辺形。長方形、正方形、ひし形は平行四辺形です。出典：F. Zapata
平行四辺形に同じ長さの隣接する2つの辺がある場合、その辺はすべて同じ長さになるため、結果の図形はひし形になります。
平行四辺形の高さは、両端が両端にあり、それらに垂直なセグメントです。
平行四辺形の面積
平行四辺形の面積は、底と高さの積であり、底は高さに垂直な側面です（図6）。
平行四辺形の対角線
頂点から始まる対角線の2乗は、その頂点に隣接する2つの辺の2乗の和に、その頂点の角度の余弦によるこれらの辺の2乗積を加えたものに等しくなります。
f 2 = a 2 + d 2 + 2 ad Cos（α）
図6.平行四辺形。対角、高さ、対角線。出典：F. Zapata
平行四辺形の頂点の反対側の対角線の2乗は、その頂点に隣接する2つの辺の2乗の合計に等しく、それらの辺の二重積をその頂点の角度の余弦で減算します。
G 2 = 2 + D 2 - 2広告のCos（α）
平行四辺形の法則
平行四辺形では、その辺の二乗の合計は対角線の二乗の合計と等しくなります。
a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = f 2 + g 2
再ctángulo
長方形は四辺形で、その反対側は2つずつ平行で、直角も持っています。つまり、長方形は直角の平行四辺形の一種です。平行四辺形であるため、長方形は等しい長さa = cおよびb = dの反対側を持っています。
しかし、どの平行四辺形でも、隣接する角度は補足的であり、反対の角度は同じです。長方形には直角があるため、他の3つの角度では必ず直角になります。つまり、長方形では、すべての内角は90度またはπ/ 2ラジアンになります。
長方形の対角線
以下で説明するように、長方形の対角線の長さは同じです。その理由は次のとおりです。長方形は、すべての直角の平行四辺形であるため、対角線の長さを与える式を含む、平行四辺形のすべてのプロパティを継承します。
f 2 = a 2 + d 2 + 2 ad Cos（α）
G 2 = 2 + D 2 - 2広告のCos（α）
α=90º
Cos（90º）= 0なので、次のことが起こります。
f 2 = g 2 = a 2 + d 2
つまり、f = gなので、長方形の2つの対角線の長さfとgは等しく、長さは次のように与えられます。
さらに、隣接する辺がaとbの長方形で片側をベースとすると、もう一方の辺は高さになるため、長方形の面積は次のようになります。
長方形の面積= ax b。
周長は長方形のすべての辺の合計ですが、反対は等しいため、辺がaとbの長方形の場合、周長は次の式で与えられます。
長方形の外周= 2（a + b）
図7.辺がaとbの長方形。対角線fとgの長さは同じです。出典：F. Zapata
平方
正方形は、隣接する辺の長さが同じ長方形です。正方形に辺aがある場合、その対角線fとgは同じ長さ、つまりf = g =（√2）aになります。
正方形の面積は、その正方形の辺です。
正方形の面積= a 2
正方形の周囲は辺の2倍です。
正方形の周囲= 4 a
図8.辺aのある正方形。面積、周囲長、対角線の長さを示します。出典：F. Zapata ..
ダイヤモンド
菱形は隣接する辺が同じ長さの平行四辺形ですが、平行四辺形では反対側が等しいため、菱形のすべての辺の長さが等しくなります。
菱形の対角線の長さは異なりますが、直角に交差します。
図9.辺aの菱形。面積、周囲、対角線の長さを示します。出典：F. Zapata
例
例1
四角形（交差していない）で、内角が360度になることを示します。
図10：四辺形の角度の合計が360度になる様子を示しています。出典：F. Zapata
四辺形のABCDが考慮され（図10を参照）、斜めのBDが描かれます。2つの三角形ABDとBCDが形成されます。三角形ABDの内角の合計は次のとおりです。
α+β 1 +δ 1 = 180°
また、三角形BCDの内角の合計は次のとおりです。
β2+γ+δ 2 = 180°
取得する2つの方程式を追加します。
α+β 1 +δ 1 +β 2 +γ+δ 2 = 180°+ 180°
グループ化：
α+（β 1 +β 2）+（δ 1 +δ 2）+γ= 2 * 180°
グループ化と名前の変更により、最終的に次のことが示されます。
α+β+δ+γ=360º
例2
台形の中央値が底辺に平行で、長さが底辺の半和であることを示します。
図11.台形ABCDの中央値MN。出典：F. Zapata
台形の中央値は、その辺の中点、つまり平行でない辺を結ぶ線分です。図11に示す台形ABCDでは、中央値はMNです。
MはADの中点であり、NはBCの中点であるため、AM / ADとBN / BCの比率は同じです。
つまり、AMは、ADとBCが同じ比率でBNに比例するため、次のようにタレスの（相反）定理の適用条件が与えられます。
「2つの割線で切り取られた3つ以上の線で比例セグメントが決定される場合、これらの線はすべて平行です。」
私たちの場合、線MN、AB、DCは互いに平行であると結論付けられます。
「台形の中央値は底辺と平行です。」
これで、タレスの定理が適用されます。
「2つ以上の割線でカットされた一連の緯線が、比例セグメントを決定します。」
この例では、AD = 2 AM、AC = 2 AOなので、三角形のDACは三角形のMAOに似ており、その結果、DC = 2 MOになります。
同様の議論により、CABがCONに類似していることを確認できます。ここで、CA = 2 COおよびCB = 2 CNです。その直後にAB = 2 ONが続きます。
つまり、AB = 2 ONおよびDC = 2 MOです。したがって、追加するときは次のようになります。
AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2（MO + ON）= 2 MN
最後にMNがクリアされます。
MN =（AB + DC）/ 2
そして、台形の中央値は基底の半合計を測定する、または別の言い方をすると結論付けられます。中央値は、2で割った基底の合計を測定します。
例3
ひし形で対角線が直角に交差することを示します。
図12.菱形とその対角線が直角に交差することのデモンストレーション。出典：F. Zapata
図12の黒板は、必要な構造を示しています。まず、平行四辺形ABCDがAB = BC、つまりひし形で描かれます。対角線ACおよびDBは、図に示す8つの角度を決定します。
セカントによってカットされた緯線間の交互の内角が等しい角度を決定することを示す定理（aip）を使用して、以下を確立できます。
α 1 =γ 1、α2=γ2、δ 1 =β 1及びδ2=β2。（*）
一方、菱形の隣接する辺の長さは等しいため、4つの二等辺三角形が決定されます。
DAB、BCD、CDAおよびABC
ここで、三角形（二等辺）の定理が呼び出され、底辺に隣接する角度は等しい測定値であることが示され、次のように結論付けられます。
δ 1 =β2、δ2=β 1、α2=γ 1及びα 1 =γ2（**）
（*）と（**）の関係を組み合わせると、次の角度の等式に到達します。
α 1 =α2=γ 1 =γ 1片手及びβに1 =β2=δ 1、他に=δ2。
2つの等しい角度の間に等しい辺を持つ2つの三角形は等しいという等三角形の定理を思い出してください。
AOD = AOB、およびその結果、角度∡AOD=∡AOB。
次に、∡AOD+∡AOB=180ºですが、両方の角度が等しいため、2∡AOD=180ºとなります。これは、ºAOD=90ºを意味します。
すなわち、菱形の対角線が直角に交差することが幾何学的に示されている。
演習は解決しました
-演習1
正しい台形で、非直角が補足であることを示します。
解決
図13.右の台形。出典：F. Zapata
台形ABCDは、ベースABとDCパラレルで構成されています。頂点Aの内角は正しい（90度）ので、正しい台形になります。
角度αとδは、2つの緯線ABとDCの間の内角であるため、等しい、つまりδ=α=90ºです。
一方、四辺形の内角の合計は360度になることが示されています。
α+β+γ+δ=90º+β+90º+δ=360º。
上記の結果：
β+δ=180º
表示したかったことを確認して、角度βとδが補足であることを確認します。
-演習2
平行四辺形ABCDにはAB = 2 cmとAD = 1 cmがあり、さらに角度BADは30度です。この平行四辺形の面積とその2つの対角線の長さを決定します。
解決
平行四辺形の面積は、底辺の長さと高さの積です。この場合、セグメントの長さb = AB = 2 cmが基準として使用され、反対側の長さはa = AD = 1 cmで、高さhは次のように計算されます。
h = AD * Sen（30º）= 1 cm *（1/2）=½cm。
つまり、面積= b * h = 2 cm *½cm = 1 cm 2です。
参考文献
- CEA（2003）。ジオメトリ要素：演習とコンパスジオメトリ。メデリン大学。
- Campos、F.、Cerecedo、FJ（2014）。数学2. Grupo社説Patria。
- Freed、K.（2007）。ポリゴンを発見。ベンチマーク教育会社。
- Hendrik、V.（2013）。一般化されたポリゴン。ビルハウザー。
- IGER。（sf）。数学第一学期タカナ。IGER。
- ジュニアジオメトリ。（2014）。ポリゴン。ルルプレス株式会社
- ミラー、ヒーレン、ホーンズビー。（2006）。数学：推論とアプリケーション（第10版）。ピアソン教育。
- Patiño、M.（2006）。数学5.編集プログレソ。
- ウィキペディア。四辺形。から回復：es.wikipedia.com