与えられた行列の逆行列は、元の行列を掛けた行列が単位行列になります。逆行列は、線形方程式のシステムを解くのに役立ちます。したがって、それを計算する方法を知ることが重要です。
行列は、複雑な問題を解決するためのコンパクトなツールであるため、物理学、工学、数学で非常に役立ちます。行列の有用性は、それらが可逆であり、その逆も知られている場合に強化されます。
図1.一般的な2×2行列とその逆行列を示します。（リカルドペレス作成）
グラフィック処理、ビッグデータ、データマイニング、機械学習などの分野では、効率的で高速なアルゴリズムを使用して、nが数千または数百万の非常に大きいnxn行列の逆行列を評価します。
線形方程式系の処理における逆行列の使用を説明するために、すべての最も単純なケースである1×1行列から始めます。
最も単純なケース：単一変数の線形方程式が考慮されます：2 x = 10。
アイデアはxの値を見つけることですが、「行列」で行われます。
ベクトル（x）を乗算する行列M =（2）は、ベクトル（10）になる1×1行列です。
M（x）=（10）
行列Mの逆行列はM -1で表されます。
この「線形システム」を記述する一般的な方法は次のとおりです。
MX = B、ここでXはベクトル（x）、Bはベクトル（10）です。
定義により、逆行列は元の行列を掛けたものが恒等行列Iになります：
M -1 M = I
考えた場合に、行列Mは-1、Mは行列（1/2）であり、-1 =（1/2）M以降-1 M =（1/2）（2）=（1）= I
未知のベクトルX =（x）を見つけるために、提案された方程式で、両方のメンバーに逆行列が乗算されます。
M -1 M（x）= M -1（10）
（½）（2）（x）=（½）（10）
（½2）（x）=（½10）
（1）（x）=（5）
（x）=（5）
2つのベクトルが等しいことになりました。これらのベクトルは、対応する要素が等しい場合、つまりx = 5の場合にのみ等しくなります。
逆行列の計算
逆行列の計算の動機は、次の2×2システムなどの線形システムの解法の普遍的な方法を見つけることです。
x-2 y = 3
-x + y = -2
前のセクションで検討した1×1の場合の手順に従って、連立方程式を行列形式で記述します。
図2.行列形式の線形システム。
このシステムは、次のようにコンパクトなベクトル表記で記述されています。
MX = B
どこ
次のステップは、Mの逆を見つけることです。
方法1：ガウスの消去法の使用
ガウスの消去法が適用されます。これは、行列の行に対して基本操作を実行することで構成されます。これらの操作は次のとおりです。
-行にゼロ以外の数値を掛けます。
-行または別の行の倍数から別の行を追加または減算します。
-行を入れ替えます。
これらの操作を通じて、元の行列を単位行列に変換することが目的です。
これが行われると、行列Mでは、まったく同じ操作が単位行列に適用されます。行でのいくつかの演算の後に、Mが単位行列に変換されると、元は単位であったものがMの逆行列、つまりM -1になります。
1-行列Mを記述し、その横に単位行列を記述することからプロセスを開始します。
2- 2つの行を追加し、結果を2番目の行に入れます。このようにして、2番目の行の最初の要素にゼロを取得します。
3- 2行目に-1を乗算して、2行目の0と1を取得します。
4-最初の行にbyが乗算されます。
5- 2番目と1番目が追加され、結果が最初の行に配置されます。
6-次に、プロセスを完了するために、最初の行に2を掛けて、最初の行の単位行列と2番目の行の元の行列Mの逆行列を取得します。
つまり、
システムソリューション
逆行列が取得されると、コンパクトベクトル方程式の両方のメンバーに逆行列を適用することで方程式系が解かれます。
M -1 M X = M -1 B
X = M -1 B
これは明示的に次のようになります。
次に、行列の乗算を実行して、ベクトルXを取得します。
方法2：添付マトリックスを使用する
この2番目の方法では、元の行列Aの随伴行列から逆行列が計算されます。
以下によって与えられる行列Aを仮定します。
ここで、i、jは行列Aの行iと列jの要素です。
行列Aの随伴はAdj（A）と呼ばれ、その要素は次のとおりです。
ad i、j =（-1）（i + j） ¦Ai、j¦
ここで、Ai、jは、元の行列Aの行iと列jを削除することによって得られる補完的な下位行列です。バー¦ ¦は、行列式が計算されたことを示します。つまり、¦Ai、j¦は、マイナー相補行列の行列式です。
逆行列式
元の行列の隣接行列から始まる逆行列を見つける式は次のとおりです：
、の逆行列であり、A、A -1の随伴の転置であり、Aの行列式で割っA。
行列Aの転置A T は、行を列と交換することによって取得されます。つまり、最初の行が最初の列になり、2番目の行が2番目の列になるというように、元の行列のn行が完了するまで続きます。
運動が解決されました
行列Aを次のようにします。
Aの随伴行列のすべての要素が計算されます：Adj（A）
その結果、Aの随伴行列Adj（A）は次のようになります。
次に、行列Aの行列式det（A）が計算されます。
最後に、Aの逆行列が取得されます。
参考文献
- Anthony Nicolaides（1994）行列式と行列。出版物を渡す。
- Awol Assen（2013）3×3の行列式の計算に関する研究
- Casteleiro Villalba M.（2004）線形代数の紹介。ESIC社説。
- Dave Kirkby（2004）Maths Connect。ハイネマン。
- Jenny Olive（1998）Maths：A Student's Survival Guide。ケンブリッジ大学出版局。
- Richard J. Brown（2012）30-Second Maths：The 50 Most Mind-Expanding Theories in Mathematics。Ivy Press Limited。
- マトリックス。Lap Lambert Academic Publishing。