三角形は平坦であり、三辺からなる、幾何学的図形を閉じました。三角形は、2つずつ交差し、互いに3つの角度を形成する3つの線によって決定されます。象徴性に富んだ三角形は、無数のオブジェクトに存在し、構築の要素として存在します。
三角形の原点は歴史上失われています。考古学的遺跡が道具や武器に使用されたことを確認しているため、考古学的証拠から、原始人類はそれをよく知っていたことが知られています。
図1.三角形。出典：Publicdomainpictures。
また、古代エジプト人が幾何学、特に三角形の形状に関する確かな知識を持っていたことも明らかです。それらは、その記念碑的な建物の建築要素に反映されました。
Rhindパピルスには、三角形と台形の面積を計算するための公式、および基本的な三角法のいくつかのボリュームとその他の概念があります。
彼らの側では、バビロニア人は、彼らが土地の分割などの実際的な目的のために使用した三角形や他の幾何学的図形の面積を計算できたことが知られています。彼らは三角形の多くの特性についても知識がありました。
しかし、他の古代文明と確かに共有されていたため、この知識の多くは排他的ではなかったものの、今日普及している多くの幾何学的概念を体系化したのは古代ギリシャ人でした。
三角形要素
次の図に、三角形の要素を示します。頂点、側面、角度の3つがあります。
図2.三角形とその要素の表記。出典：ウィキメディア・コモンズ、F。サパタによって修正
-Vertices：セグメントが三角形を決定するラインの交点です。たとえば、上の図では、線分ACを含む線L ACが、点Aで線分ABを含む線L ABと正確に交差しています。
- サイド：頂点の各対の間の線分は三角形の一辺を構成することが描かれています。このセグメントは、終了文字で表すことも、特定の文字を使用して呼び出すこともできます。図2の例では、サイドABは「c」とも呼ばれます。
- 角度：頂点が共通する各辺の間に角度が発生し、その頂点は三角形の頂点と一致します。一般に、角度は最初に述べたようにギリシャ文字で表されます。
特定の形状とサイズで特定の三角形を作成するには、次のいずれかのデータセットを用意します。
-三角形の場合は非常に明白な3つの側面。
-2つの側面とそれらの間の角度、およびすぐに残りの側面が描画されます。
-2つの（内部）角度とそれらの間の側面。拡張によって、2つの欠落した辺が描画され、三角形が準備できます。
表記
一般に、三角形表記では次の規則が使用されます。頂点は大文字のラテン文字で示され、側面は小文字のラテン文字で示され、角度はギリシャ文字で示されます（図2を参照）。
このようにして、三角形はその頂点に従って名前が付けられます。たとえば、図2の左側の三角形は三角形ABC、右側の三角形は三角形A'B'C 'です。
他の表記法を使用することも可能です。たとえば、図2の角度αはBACと表されます。頂点の文字は中央にあり、文字は反時計回りに書かれていることに注意してください。
角度を表すためにキャレットが使用される場合もあります。
α=∠A
三角形の種類
三角形の分類にはいくつかの基準があります。最も一般的なのは、側面の大きさまたは角度の大きさに従って分類することです。それらの辺の大きさに応じて、三角形は斜辺、二等辺、または正二辺になります。
-Scaleno：その3つの側面は異なります。
-Isósceles：2つの等しい側面と1つの異なる側面があります。
-Equilátero：3つの辺は等しい。
図3.三角形の辺による分類。出典：F. Zapata
それらの角度の測定によると、三角形は次のように命名されています：
- 内角の1つが90°より大きい場合の障害物。
- 急性角三角形の3つの内部角度未満である急性である、90°
- 長方形、その内角の1つが90度に相当する場合。90ºを形成する側は脚と呼ばれ、直角の反対側は斜辺です。
図4.三角形の内角による分類。出典：F. Zapata。
三角形の合同
2つの三角形が同じ形状で同じサイズの場合、それらは合同であるといいます。もちろん合同性は平等に関連していますが、なぜジオメトリは「2つの等しい三角形」ではなく「2つの合同な三角形」について話すのでしょうか。
さて、2つの三角形は同じ形状とサイズを持つことができますが、平面では向きが異なるため、「合同」という用語を使用して真実を守ることが推奨されます（図3を参照）。ジオメトリの観点から、それらはもはや厳密に同じではありません。
図5.一致する三角形。ただし、平面での向きが異なるため、必ずしも等しいとは限りません。出典：F. Zapata。
合同基準
次のいずれかが発生すると、2つの三角形が合同になります。
-3つの側面は同じものを測定します（これは最も明白です）。
-2つの同じ側面があり、角度が同じである。
-両方に同じ2つの内角があり、これらの角度の間の側は同じように測定されます。
ご覧のように、2つの三角形が必要な条件を満たすため、作成されたときに、形状とサイズがまったく同じになります。
実際には無数のピースと機械部品を、それらの測定値と形状がまったく同じになるように連続して製造する必要があるため、合同基準は非常に役立ちます。
三角形の類似性
三角形は、サイズが異なっていても、形状が同じであれば他の三角形と似ています。形状が同じであることを確認するには、内角が同じ値で、辺が比例している必要があります。
図6. 2つの類似した三角形：サイズは異なりますが、比率は同じです。出典：F. Zapata。
図2の三角形も、図6の三角形と同様です。このように、
側面については、次の類似比率が保持されます。
プロパティ
三角形の基本的な特性は次のとおりです。
-三角形の内角の合計は常に180度です。
-どの三角形でも、その外角の合計は360°に等しい。
-三角形の外角は、その角に隣接していない2つの内角の合計に等しくなります。
定理
タレスの最初の定理
それらは、幾何学に関連するいくつかの定理を開発したギリシャの哲学者であり数学者であるミレトスのタレスに帰因している。それらの最初は次のように述べています：
図7.タレスの定理。出典：F. Zapata。
言い換えると：
a / a´= b / b´= c / c´
タレスの最初の定理は三角形に適用できます。たとえば、左側に青い三角形ABCがあり、右側にある赤い平行線でカットされています。
図8.タレスの定理と同様の三角形。
紫色の三角形AB'Cは青色の三角形ABCに似ているため、タレスの定理によれば、次のように書くことができます。
AB´ / AC´ = AB / AC
そして、それは三角形の類似性のセグメントで前に説明されたものと一致しています。ちなみに、平行線も垂直または斜辺に平行にすることができ、同様の三角形が同じ方法で得られます。
タレスの第二定理
この定理は、以下に示すような、中心がOの三角形と円も指します。この図では、ACは円周の直径であり、Bはその上の点です。BはAおよびBとは異なります。
タレスの第2定理は次のように述べています。
図9.タレスの2番目の定理。出典：ウィキメディア・コモンズ。誘導負荷。
ピタゴラスの定理
これは、歴史上最も有名な定理の1つです。これはギリシャの数学者サモスのピタゴラス（紀元前569〜475年）によるもので、直角三角形に適用できます。そう言う：
図8の青い三角形または紫色の三角形を例にとると、どちらも長方形であるため、次のように表現できます。
AC 2 = AB 2 + BC 2（青い三角形）
AC´ 2 = AB´ 2 + BC´ 2（紫色の三角形）
三角形の面積
三角形の面積は、底辺aとその高さhの積を2で割ったもので与えられます。また、三角法により、この高さはh = bsinθと書くことができます。
図10.三角形の面積。出典：ウィキメディア・コモンズ。
三角形の例
例1
タレスは彼の最初の定理によって、古代世界の7つの不思議の1つであるエジプトの大ピラミッドの高さを、地面に投影された影と地面に打ち込まれた杭によって投影された影を測定することでなんとかしたと言われています。
これはテイルズが従う手順の概要です：
図11.三角形の類似性によって大ピラミッドの高さを測定するスキーム。出典：ウィキメディア・コモンズ。岳
タレスは太陽の光線が平行に当たると正しく想定していました。これを念頭に置いて、彼は右側の大きな直角三角形を想像しました。
Dはピラミッドの高さ、Cは中心から砂漠の床のピラミッドが投じる影までの地上からの距離です。Cの測定は面倒かもしれませんが、ピラミッドの高さを測定するよりも確かに簡単です。
左側は小さな三角形で、脚AとBがあり、Aは地面に垂直に打ち込まれた杭の高さ、Bはそれが投じる影です。Cと同様に、両方の長さを測定できます（Cは影の長さにピラミッドの長さの半分を加えたものに等しい）。
したがって、三角形の類似性により：
A / B = D / C
そして、大ピラミッドの高さは次のようになります：D = C（A / B）
例2
土木建築のトラスは、木または金属の細い直線の棒を十字に交差させて作られた構造であり、多くの建物の支持として使用されています。それらは、トラス、トラス、またはトラスとも呼ばれます。
それらには三角形が常に存在します。バーはノードと呼ばれる点で相互接続されているため、固定または連結することができます。
図12.三角形はこの橋のフレームにあります。出典：PxHere。
例3
三角形分割と呼ばれる方法では、頂点間の望ましい位置を含む三角形が形成されていれば、測定が容易な他の距離がわかっているアクセスできない点の位置を取得できます。
たとえば、次の図では、船が海のどこにあるのかを知りたい（Bと表記）。
図13.船を見つけるための三角測量スキーム。出典：ウィキメディア・コモンズ。コレット
まず、海岸の2点間の距離を測定します。図ではAとCです。次に、角度αとβは、垂直角と水平角を測定するために使用される装置であるセオドライトを使用して決定する必要があります。
このすべての情報を使用して、上部の頂点が船である三角形が作成されます。三角形のプロパティを使用して角度γを計算し、三角法を使用して距離ABおよびCBを計算し、海での船の位置を決定することは残ります。
演習
演習1
示されている図では、太陽光線は平行です。このようにして、高さ5メートルのツリーが地面に6メートルの影を落とします。同時に、建物の影は40メートルです。タレスの最初の定理に従って、建物の高さを求めます。
図14.解決済みの演習のスキーム1.出典：F. Zapata。
解決
赤い三角形の辺はそれぞれ5メートルと6メートルで、青い三角形の高さはH（建物の高さ）で、底面は40メートルです。両方の三角形は似ているため、次のようになります。
演習2
AとBの2点間の水平距離を知る必要がありますが、それらは非常にでこぼこの地にあります。
上記の地形のほぼ中間点（P m）で、1.75メートルの高さが際立っています。巻尺がAから隆起までの26メートル、Bから同じ点までの27メートルを示している場合は、距離ABを求めます。
図15.解決済みの演習のスキーム2.出典：Jiménez、R。Mathematics II。幾何学と三角法。
解決
ピタゴラスの定理は、図の2つの直角三角形の1つに適用されます。左側のものから始めます：
斜辺= c = 26メートル
高さ= a = 1.75メートル
APのM =（26 2 - 1.75 2）1/2 = 25.94メートル
次に、右側の三角形にピタゴラスを適用します。今回はc = 27メートル、a = 1.75メートルです。これらの値を使用：
BP M =（27 2 - 1.75 2）1/2 = 26.94メートル
距離ABは、これらの結果を加算することによって求められます。
AB = 25.94 m + 26.94 m = 52.88 m。
参考文献
- バルドール、JA1973。平面および宇宙のジオメトリ。中央アメリカの文化。
- バレド、D。三角形のジオメトリ。から回復：ficus.pntic.mec.es。
- ヒメネス、R。2010。数学II。幾何学と三角法。第二版。ピアソン。
- Wentworth、G。Plane Geometry。回収元：gutenberg.org。
- ウィキペディア。三角形。から回復：es。wikipedia.org。