クロス積：プロパティ、アプリケーション、演習 - 数学 - 2025

クロス積又はベクトル積は、二つ以上のベクトルを乗算する方法です。ベクトルを乗算する方法は3つありますが、これらは通常の意味での乗算ではありません。これらの形式の1つはベクター製品として知られ、3番目のベクターになります。

外積は、外積または外積とも呼ばれ、代数的および幾何学的特性が異なります。これらの特性は、特に物理学の研究に関して非常に有用です。

定義

ベクトル積の正式な定義は次のとおりです。A=（a1、a2、a3）およびB =（b1、b2、b3）がベクトルの場合、AとBのベクトル積は、AxBとして表されます。

AxB =（a2b3-a3b2、a3b1-a1b3、a1b2-a2b1）

AxB表記のため、「A cross B」と読みます。

外積の使用方法の例は、A =（1、2、3）およびB =（3、-2、4）がベクトルの場合、次のようなベクトル積の定義を使用することです。

AxB =（1、2、3）x（3、-2、4）=（2 * 4-3 *（-2）、3 * 3-1 * 4、1 *（-2）-2 * 3）

AxB =（8 + 6、9-4、2-6）=（14、5、8）。

ベクター産物を表現する別の方法は、行列式の表記法によって与えられます。

2次の行列式の計算は、次のようになります。

したがって、定義で与えられた外積の式は次のように書き直すことができます。

これは通常、次のように3次の行列式に単純化されます。

ここで、i、j、kはR ^3の基礎を形成するベクトルを表します。

クロス積を表現するこの方法を使用すると、前の例を次のように書き直すことができます。

プロパティ

ベクトル積のいくつかのプロパティは次のとおりです。

プロパティ1

AがR ^3のいずれかのベクトルである場合、次のようになります。

-AxA = 0

-Ax0 = 0

-0xA = 0

これらのプロパティは、定義だけを使用して簡単に確認できます。A =（a1、a2、a3）の場合：

AxA =（a2a3-a3a2、a3a1-a1a3、a1a2-a2a1）=（0、0、0）= 0。

Ax0 =（a2 * 0-a3 * 0、a3 * 0-a1 * 0、a1 * 0-a2 * 0）=（0、0、0）= 0。

i、j、kがR ^3の単位ベースを表す場合、次のように書くことができます。

i =（1、0、0）

j =（0、1、0）

k =（0、0、1）

したがって、次のプロパティが真であることがわかります。

ニーモニックルールとして、これらのプロパティを記憶するために次のサークルがよく使用されます。

そこでは、結果としてベクター自体がベクター0を与えることに注意する必要があります。残りの積は、次のルールで取得できます。

時計回りの2つの連続するベクトルの外積は、次のベクトルを与えます。反時計回りの方向を考慮すると、結果は負の符号を持つ次のベクトルになります。

これらのプロパティのおかげで、ベクトル積が可換ではないことがわかります。たとえば、ixj≠jx iであることに注意してください。次のプロパティは、AxBとBxAが一般的にどのように関連しているかを示します。

プロパティ2

AとBがR ^3のベクトルの場合、次のようになります。

AxB =-（BxA）。

デモンストレーション

A =（a1、a2、a3）およびB =（b1、b2、b3）の場合、外部製品の定義により、次のようになります。

AxB =（a2b3-a3b2、a3b1-a1b3、a1b2-a2b1）

=（-1）（a3b2-a2b3、a1b3-a3b1、a2b1-a1b2）

=（-1）（BxA）。

この製品が次の例と関連付けられていないこともわかります。

ix（ixj）= ixk =-jしかし（ixi）xj = 0xj = 0

これから、次のことがわかります。

ix（ixj）≠（ixi）xj

プロパティ3

A、B、CがR ^3のベクトルで、rが実数の場合、次のことが当てはまります。

-Ax（B + C）= AxB + AxC

-r（AxB）=（rA）xB = Ax（rB）

これらのプロパティのおかげで、順序が守られれば、代数の法則を使用してベクトル積を計算できます。例えば：

A =（1、2、3）およびB =（3、-2、4）の場合、R ^3の標準的な基準でそれらを書き換えることができます。

したがって、A = i + 2j + 3kおよびB = 3i-2j + 4k。次に、前のプロパティを適用します。

AxB =（i + 2j + 3k）x（3i-2j + 4k）

= 3（ixi）-2（ixj）+ 4（ixk）+ 6（jxi）-4（jxj）+ 8（jxk）+ 9（kxi）-6（kxj）+12（kxk）

= 3（0）-2（k）+ 4（-j）+ 6（-k）-4（0）+ 8（i）+ 9（j）-6（-i）+12（0）

=-2k-4j-6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j-4k

=（14、5、-8）。

プロパティ4（三重積）

冒頭で述べたように、ベクトル積以外にも、ベクトルを乗算する他の方法があります。これらの方法の1つは、スカラー積または内積です。これは、A∙Bとして表され、その定義は次のとおりです。

A =（a1、a2、a3）およびB =（b1、b2、b3）の場合、A∙B = a1b1 + a2b2 + a3b3

両方の製品を関連付けるプロパティは、トリプルスカラー製品として知られています。

A、B、CがR ^3のベクトルの場合、A∙BxC = AxB∙C

例として、A =（1、1、-2）、B =（-3、4、2）およびC =（-5、1、-4）が与えられた場合、このプロパティが満たされることを確認します。

BxC =-3k-12j + 20k-16i-10j-2i =-18i-22j + 17k

A∙BxC =（1、1、-2）∙（-18、-22、17）=（1）（-18）+（1）（-22）+（-2）（17）=-74

一方：

AxB = 4k-2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB∙C =（10、4、7）∙（-5、1、-4）=（10）（-5）+（4）（1）+（7）（-4）=-74

別のトリプルプロダクトはAx（BxC）で、これはトリプルベクトルプロダクトとして知られています。

プロパティ5（トリプルベクトル積）

A、B、CがR ^3のベクトルの場合、次のようになります。

Ax（BxC）=（A∙C）B-（A∙B）C

例として、A =（1、1、-2）、B =（-3、4、2）およびC =（-5、1、-4）が与えられた場合、このプロパティが満たされることを確認します。

前の例から、BxC =（-18、-22、17）であることがわかります。Ax（BxC）を計算しましょう：

Ax（BxC）=-22k-17j + 18k + 17i + 36j-44i =-27i + 19j-4k

一方、次のことを行う必要があります。

A∙C =（1、1、-2）∙（-5、1、-4）=（1）（-5）+（1）（1）+（-2）（-4）=-5 + 1 + 8 = 4

A∙B =（1、1、-2）∙（-3、4、2）=（1）（-3）+（1）（4）+（-2）（2）=-3 + 4- 4 =-3

したがって、次のことを行う必要があります。

（A∙C）B-（A∙B）C = 4（-3、4、2）+ 3（-5、1、-4）=（-12、16、8）+（-15、3、 -12）=（-27,19、–4）

プロパティ6

これは、ベクトルの幾何学的特性の1つです。AとBがR ^3の 2つのベクトルであり、ϴがそれらの間に形成される角度である場合、次のようになります。

--AxB-- = --A ---- B-sin（ϴ）、ここで-∙-はベクトルの係数または大きさを示します。

このプロパティの幾何学的解釈は次のとおりです。

A = PRおよびB = PQとします。したがって、次の図に示すように、ベクトルAとBによって形成される角度は、三角形RQPの角度Pです。

したがって、隣接する辺としてPRとPQを持つ平行四辺形の面積は--A ---- B-sin（ϴ）です。 --B-罪（ϴ）。

したがって、-AxB--は平行四辺形の領域であると結論付けることができます。

例

四辺形P（1、–2,3）、Q（4、3、–1）、R（2、2,1）およびS（5,7、-3）の次の頂点を考えると、四辺形は平行四辺形で、その面積を求めます。

このため、最初に四辺形の辺の方向を決定するベクトルを決定します。これは：

A = PQ =（1-4、3 + 2、-1-3）=（3、5、-4）

B = PR =（2-1、2 + 2、1-3）=（1、4-2）

C = RS =（5-2、7-2、-3-1）=（3、5、4）

D = QS =（5-4、7-3、-3 + 1）=（1、4、2）

ご覧のとおり、AとCは同じディレクターベクトルを持っています。同じことがBとDでも起こります。したがって、PQRSは平行四辺形であると結論付けます。

この平行四辺形の面積を得るために、BxAを計算します：

BxA =（i + 4j-2k）x（3i + 5j-4k）

= 5k + 4j-12k-16i-6j + 10i

=-6i-2j-7k。

したがって、二乗面積は次のようになります。

--BxA-- ² =（-6）² +（-2）² +（-7）² = 36 + 4 + 49 = 89。

平行四辺形の面積は89の平方根になると結論付けることができます。

プロパティ7

2つのベクトルAとBは、AxB = 0の場合に限り、R ^3で並列になります。

デモンストレーション

AまたはBがヌルベクトルの場合、AxB = 0が満たされることは明らかです。ゼロベクトルは他のどのベクトルとも平行であるため、プロパティは有効です。

2つのベクトルのどちらもゼロベクトルでない場合、それらの大きさはゼロとは異なります。つまり、-A--≠0と--B--≠0の両方であるため、sin（ϴ）= 0の場合に限り--AxB-- = 0となり、これは、 ϴ =πまたはϴ = 0。

したがって、A =πまたはde = 0の場合に限り、AxB = 0と結論付けることができます。これは、両方のベクトルが互いに平行である場合にのみ発生します。

プロパティ8

AとBがR ^3の 2つのベクトルである場合、AxBはAとBの両方に垂直です。

デモンストレーション

この証明のために、A∙Bがゼロに等しい場合、2つのベクトルは垂直であることを思い出してください。さらに、私たちはそれを知っています：

A∙AxB = AxA∙Bですが、AxAは0です。したがって、次のようになります。

A∙AxB = 0∙B = 0。

これにより、AとAxBは互いに垂直であると結論付けることができます。同様に、次のことを行う必要があります。

AxB∙B = A∙BxB。

BxB = 0なので、次のようになります。

AxB∙B = A∙0 = 0。

したがって、AxBとBは互いに垂直であり、これにより特性が示されます。平面の方程式を決定できるので、これは私たちにとって非常に便利です。

例1

点P（1、3、2）、Q（3、-2、2）およびR（2、1、3）を通過する平面の方程式を取得します。

A = QR =（2-3.1 + 2、3-2）、B = PR =（2-1.1-3、3-2）とします。次に、A =-i + 3j + kおよびB = i-2j + kです。これらの3点によって形成される平面を見つけるには、平面に垂直なベクトル、つまりAxBを見つけるだけで十分です。

AxB =（-i + 3j + k）x（i-2j + k）= 5i + 2j-k。

このベクトルを使用して、点P（1、3、2）を取得すると、次のように平面の方程式を決定できます。

（5、2、-1）∙（x-1、y-3、z-2）= 5（x-1）+ 2（y-3）-（z-2）= 0

したがって、平面の方程式は5x + 2y-z-9 = 0です。

例2

点P（4、0、-2）を含み、各平面x-y + z = 0および2x + y-4z-5 = 0に垂直な平面の方程式を見つけます。

平面ax + by + cz + d = 0への法線ベクトルが（a、b、c）であることを知っているため、（1、-1,1）はx-y + z = 0 y（ 2,1、-4）は、2x + y-4z-5 = 0の法線ベクトルです。

したがって、求める平面の法線ベクトルは、（1、-1,1）および（2、1、-4）に垂直でなければなりません。このベクトルは：

（1、-1,1）x（2,1、-4）= 3i + 6j + 3k。

次に、求める平面は点P（4,0、-2）を含み、法線ベクトルとしてベクトル（3,6,3）を持つ平面です。

3（x-4）+ 6（y-0）+ 3（z + 2）= 0

x + 2y + z-2 = 0。

用途

平行六面体の体積の計算

三重スカラー積を持つアプリケーションは、図に示すように、エッジがベクトルA、B、Cによって与えられる平行六面体の体積を計算できるようになります。

このアプリケーションを次のように推定できます。前に述べたように、ベクトルAxBはAおよびBの平面に垂直なベクトルです。また、ベクトル-（AxB）は、この平面に垂直な別のベクトルであることもわかります。

ベクトルCと最小の角度を形成する法線ベクトルを選択します。一般性を失うことなく、AxBをCとの角度が最小のベクトルとする。

AxBとCの両方の開始点が同じであることを確認しました。さらに、平行六面体のベースを形成する平行四辺形の面積は--AxB--であることを知っています。したがって、平行六面体の高さがhで与えられる場合、その体積は次のようになります。

V = --AxB-h。

一方、AxBとCの間のドット積を考えてみましょう。これは次のように説明できます。

ただし、三角特性により、h = --C-cos（ϴ）となるため、次のようになります。

このようにして、次のようになります。

一般的に言えば、平行六面体の体積は、三重スカラー積AxB∙Cの絶対値によって与えられるということです。

解決された演習

演習1

点P =（5、4、5）、Q =（4、10、6）、R =（1、8、7）およびS =（2、6、9）を指定すると、これらの点は、エッジが平行六面体を形成しますそれらはPQ、PR、PSです。上記の平行六面体の体積を決定します。

解決

私たちが取る場合：

-A = PQ =（-1、6、1）

-B = PR =（-4、4、2）

-C = PS =（-3、2、2）

トリプルスカラー積プロパティを使用すると、次のようになります。

AxB =（-1、6、1）x（-4、4、2）=（8、-2、20）。

AxB∙C =（8、-2、20）∙（-3、2、2）= -24 -4 +80 = 52。

したがって、平行六面体の体積は52です。

演習2

エッジがA = PQ、B = PRおよびC = PSで与えられる平行六面体の体積を決定します。ここで、点P、Q、RおよびSは（1、3、4）、（3、5、3）、 （2、1、6）と（2、2、5）です。

解決

まず、A =（2、2、-1）、B =（1、-2、2）、C =（1、-1、1）とします。

AxB =（2、2、-1）x（1、-2、2）=（2、-5、-6）を計算します。

次に、AxB∙Cを計算します。

AxB∙C =（2、-5、-6）∙（1、-1、1）= 2 + 5-6 = 1。

したがって、平行六面体の体積は1立方単位であると結論付けます。

参考文献

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