超立方体は、次元nの立方体です。4次元ハイパーキューブの特定のケースは、テセラクトと呼ばれます。ハイパーキューブまたはnキューブは、直線セグメントで構成され、すべての頂点が直交する同じ長さです。
人間は幅、高さ、奥行きの3次元空間を知覚しますが、3を超える次元を持つハイパーキューブを視覚化することはできません。
図1. 0キューブは点です。その点が距離aが1キューブを形成する方向に伸びる場合、その1キューブが直交方向に距離aを伸びる場合、2キューブ（から側面xからa）、2キューブが直交方向に距離a伸びる場合、3キューブになります。出典：F. Zapata
立方体を平面に投影して表現するのと同様の方法で、3次元空間に投影して表現できます。
次元0では、唯一の数字がポイントなので、0キューブはポイントです。1立方体は、直線aの方向にある点を1方向に移動することによって形成される直線セグメントです。
その部分では、2立方体は正方形です。これは、1キューブ（長さaのセグメント）を、x方向に直交するy方向に距離aだけシフトすることによって構築されます。
3キューブは一般的なキューブです。これは、x方向とy方向に直交する第3の方向（z）、距離aに移動することにより、正方形から構築されます。
図2. 4キューブ（テッセラクト）は、3キューブを従来の3つの空間方向に直交する方向に拡張したものです。出典：F. Zapata
4立方体はテッセラクトです。これは、3立方体から直交して、距離aで、4番目の次元（または4番目の方向）に向かって移動します。
テッセラクトにはすべての直角があり、16の頂点があり、すべてのエッジ（全部で18）は同じ長さaを持っています。
次元nのn立方体または超立方体のエッジの長さが1の場合、それは最長の対角線が√nを測定する単位超立方体です。
図3. nキューブは、次の次元で直角に拡張する（n-1）キューブから取得されます。出典：ウィキメディア・コモンズ。
寸法は何ですか？
寸法とは、自由度、つまりオブジェクトが移動できる方向です。
次元0では、移動する可能性はなく、唯一の可能な幾何学的オブジェクトは点です。
ユークリッド空間の次元は、X軸と呼ばれる、その次元を定義する方向付けられた線または軸によって表されます。2つの点AとBの間の距離は、ユークリッド距離です。
d =√。
2次元では、空間は、X軸とY軸と呼ばれる、互いに直交する2つの線で表されます。
この2次元空間内の任意のポイントの位置は、デカルト座標のペア（x、y）によって指定され、任意の2つのポイントAとBの間の距離は次のようになります。
d =√
ユークリッドの幾何学が満たされる空間だからです。
三次元空間
三次元空間は私たちが動く空間です。幅、高さ、奥行きの3つの方向があります。
空の部屋では、垂直なコーナーがこれらの3つの方向を与え、それぞれにX、Y、Zの軸を関連付けることができます。
この空間もユークリッド空間であり、2つの点AとBの間の距離は次のように計算されます。
d =√
人間は4つ以上の空間（またはユークリッド）次元を知覚できません。
ただし、厳密に数学的な観点から見ると、n次元ユークリッド空間を定義することができます。
この空間では、ポイントの座標は（x1、x2、x3、…..、xn）であり、2つのポイント間の距離は次のとおりです。
d =√。
四次元と時間
実際、相対性理論では、時間はもう1つの次元として扱われ、座標がそれに関連付けられます。
ただし、この時間に関連付けられた座標は虚数であることを明確にする必要があります。したがって、時空における2つのポイントまたはイベントの分離はユークリッドではなく、ローレンツ計量に従います。
4次元ハイパーキューブ（テッセラクト）は時空に存在せず、4次元ユークリッドハイパー空間に属します。
図4.図を前から左、後ろから右、上から下に分割する平面の周りの単純な回転における4次元ハイパーキューブの3D投影。出典：ウィキメディア・コモンズ。
ハイパーキューブの座標
原点を中心とするnキューブの頂点の座標は、次の式の可能なすべての置換を行うことによって取得されます。
（a / 2）（±1、±1、±1、…。、±1）
ここで、aはエッジの長さです。
- エッジaのn立方体の体積は（a / 2）n（2 n）= a nです。
- 最長の対角線は、向かい合う頂点間の距離です。
-次は正方形の反対の頂点です：（-1、-1）と（+1、+1）。
-そして立方体で：（-1、-1、-1）と（+1、+1、+1）。
-The 最長対角線 Nキューブ措置：
d =√=√=2√n
この場合、辺はa = 2であると想定されました。いずれかの側のnキューブの場合、次のようになります。
d =a√n。
-テッセラクトは、16の頂点のそれぞれが4つのエッジに接続されています。次の図は、テッセラクトで頂点がどのように接続されるかを示しています。
図5. 4次元ハイパーキューブの16個の頂点とそれらの接続方法を示します。出典：ウィキメディア・コモンズ。
ハイパーキューブの展開
通常の幾何学的図形、たとえば多面体は、より小さな次元のいくつかの図形に展開できます。
2立方体（正方形）の場合は、4つの1立方体の4つのセグメントに分割できます。
同様に、3立方体を6つの2立方体に展開できます。
図6. nキューブは、いくつかの（n-1）キューブに展開できます。出典：ウィキメディア・コモンズ。
4立方体（テセラクト）は、8つの3立方体に展開できます。
次のアニメーションは、テッセラクトの展開を示しています。
図7. 4次元ハイパーキューブは、8つの3次元キューブに展開できます。出典：ウィキメディア・コモンズ。
図8. 2つの直交平面を中心に2回転する4次元ハイパーキューブの3次元投影。出典：ウィキメディア・コモンズ。
参考文献
- 科学文化。ハイパーキューブ、4番目の次元を視覚化します。から回復：culturacientifica.com
- エプシロン。4次元ハイパーキューブまたはテッセラクト。から回復：epsilones.com
- ペレスR、アギレラA.ハイパーキューブ（4D）の開発からテッセラクトを取得する方法。回収元：researchgate.net
- ウィキブックス。数学、多面体、ハイパーキューブ。回復元：es.wikibooks.org
- ウィキペディア。ハイパーキューブ。から回復：en.wikipedia.com
- ウィキペディア。テッセラクト。から回復：en.wikipedia.com